Стандартная модель физики элементарных частиц — это исключительно успешная теория природы, описывающая известные элементарные частицы и три из четырех фундаментальных сил: сильное взаимодействие, слабое взаимодействие и электромагнетизм. Успех теории основан на поразительном совпадении теоретических расчетов и экспериментов в диапазоне восемнадцати порядков, от низких энергий 21-сантиметрового радиоизлучения водорода до высоких энергий столкновений на Большом адронном коллайдере. И тем не менее, несмотря на все успехи за более чем полувековую историю существования теории, остается фундаментальная проблема: как дать полной теории непертурбативное определение, такое, которое не полагается на рассмотрение ее взаимодействий как малых поправок. В октябрьском препринте(opens in a new window), подготовленном с помощью GPT‑6 Astra, я предложил кандидатское определение на решетке, представляющей собой сетку пространственно-временных координат.
У меня была стратегия решения этой проблемы, но мне не удавалось доказать ее работоспособность во всех необходимых случаях. Astra помогла превратить эту стратегию в конструкцию и взяла на себя ведущую роль в разработке детального доказательства. Чтобы объяснить, что мы сделали, полезно начать с того, чего не хватает в нашем текущем описании Стандартной модели.
Чего не хватает в определении Стандартной модели?
Что значит сказать, что нам не хватает определения Стандартной модели? Квантовая механика и специальная теория относительности говорят нам, как взаимодействуют частицы и силы Стандартной модели. К сожалению, мы пока не умеем делать полные предсказания непосредственно на основе этих взаимодействий. Вместо этого мы часто начинаем с предположения, что взаимодействия отключены, так что электроны больше не отталкивают друг друга. Мы можем решить эту задачу точно, а затем вернуть взаимодействия в виде серии малых поправок. Когда поправки становятся все меньше и меньше, несколько членов могут дать поразительно точный ответ — например, это позволило физикам предсказать силу магнетизма электрона с точностью до нескольких частей на триллион. Этот подход известен как теория возмущений.
Однако большая часть богатства Стандартной модели лежит за пределами теории возмущений. Возьмем массу протона: протон состоит из трех кварков, но его масса проистекает в основном из движения и взаимодействий кварков и переносчиков сильного взаимодействия — глюонов внутри него. Если вы отключите сильное взаимодействие, протон полностью распадется, поэтому теория возмущений не является полезным инструментом для понимания величины массы протона. Необходимы более мощные методы для получения информации о теории непертурбативным способом, когда взаимодействия присутствуют с самого начала и не рассматриваются как малые поправки.
Для полной Стандартной модели в непрерывном пространстве-времени у нас нет непертурбативного определения или даже понимания того, является ли взаимодействующая теория математически корректной. Перспективная альтернатива состоит в том, чтобы дискретизировать пространство-время в виде сетки точек, известной как решетка. Шаг сетки определяет наименьшее расстояние, которое наша теория способна разрешить, а изучение конечной сетки позволяет нам дать строгое непертурбативное определение теории при заданном шаге. Это также позволяет перенести теорию на компьютер, где мы можем вычислять ее предсказания напрямую, не прибегая к теории возмущений. Этот подход, известный как решеточная теория поля, привел к замечательному прогрессу в нашем понимании сильного взаимодействия за последние несколько десятилетий, включая количественное понимание массы протона из первых принципов.
Левокиральные частицы
Если решеточная теория поля оказалась столь успешной для сильного взаимодействия, почему мы не распространили ее на непертурбативное определение на решетке для всей Стандартной модели? Здесь на пути встает ключевое различие: Стандартная модель является примером того, что называется киральной теорией.
Киральная теория — это теория, которая выглядит по-разному при отражении в пространстве. Вспомните перчатки в зеркале: зеркальное отражение левой перчатки — это правая перчатка. Если у вас есть по одной перчатке каждого вида, то же самое делает и зеркальное отражение, поэтому ваша коллекция перчаток выглядит одинаково при отражении в пространстве. Но если у вас есть только левая перчатка, правая перчатка в зеркале будет другой.
Это понятие зеркальной асимметрии распространяется на многие фундаментальные частицы Стандартной модели, известные как фермионы, включая кварки и электроны. Большинство сил в Стандартной модели не являются киральными: например, сильное взаимодействие и электромагнетизм одинаково относятся к левокиральным и правокиральным фермионам. Такие теории гораздо проще поместить на решетку.
Но третья фундаментальная сила Стандартной модели, слабое взаимодействие, лишена этой симметрии относительно отражения. Она по-разному относится к левокиральным и правокиральным фермионам, и поэтому выглядит неодинаково при зеркальных отражениях, меняющих местами лево и право. Именно такое различное отношение к частицам с разной киральностью делает Стандартную модель киральной теорией. И оказывается, что помещение киральных теорий на решетку сопряжено с огромными трудностями. Если мы попытаемся поместить левокиральный фермион на решетку, самые естественные правила дают вам правокирального партнера, о котором вы не просили. Это удивительный результат, который мы сейчас разберем. Какова бы ни была причина, это означает, что прямая решеточная формулировка Стандартной модели дает неверный набор частиц для слабого взаимодействия. Удвоение — это одна из причин, по которой полное непертурбативное определение Стандартной модели отсутствовало с момента формирования теории.
Аналогия со светом и зеркалами
Чтобы понять удвоение, рассмотрим аналогию со светом. Свет имеет две поляризации, которые описывают ориентацию электрического поля по мере движения света в пространстве. (Это знакомо тем, кто носит поляризационные солнцезащитные очки, которые блокируют горизонтально поляризованный свет, отражающийся от воды или дорог, и пропускают вертикально поляризованный свет.) Хотя поляризационные солнцезащитные очки выделяют базис горизонтальной и вертикальной поляризаций, для нашей аналогии будет полезнее выбрать базис, в котором эти две поляризации являются левоциркулярной и правоциркулярной, что означает вращение электрического поля по часовой или против часовой стрелки вокруг направления движения. Как мы уже говорили, электромагнетизм симметричен относительно отражения, поэтому его реальные законы одинаковы как для левоциркулярной, так и для правоциркулярной поляризаций. (Для технически подготовленных читателей: левая и правая стороны относятся к киральности, когда мы говорим о фермионах. В нашей аналогии со светом они относятся к спиральности фотона, которая говорит нам, направлен ли его спин вдоль направления движения или против него.)
Но представьте, что вы хотите смоделировать мир только с левоциркулярно поляризованным светом, подобно тому, как слабое взаимодействие выделяет левые фермионы. Чтобы изучить это в лаборатории, можно поместить лазер, излучающий левоциркулярно поляризованный свет, в коробку с зеркалом на каждом конце. Свет может накапливаться при многократном отражении туда и обратно, что позволяет тщательно его изучить — примерно как помещение Стандартной модели на решетку. В каждом случае вы ограничиваете доступные пространственные масштабы теории для получения контроля: решетка ограничивает кратчайшие доступные расстояния, а коробка ограничивает наибольшие расстояния.
Если бы вы построили коробку с использованием обычных зеркал (подобно помещению киральной теории на решетку самым прямым способом), вас ждал бы сюрприз: левоциркулярный свет, выходящий из лазера, становится правоциркулярным при отражении от зеркала на другом конце, поэтому теперь коробка содержит свет обеих поляризаций. Это происходит потому, что зеркало меняет направление света на противоположное, не изменяя вращение электрического поля (если смотреть с одного и того же конца коробки), что приводит к переворачиванию поляризации. Это отчасти напоминает появление дублеров при помещении левого фермиона на решетку. Вы подали только левый свет, а коробка добавила правую сторону.
Существует изящное решение. Можно сделать киральное зеркало, используя специальные пленки, молекулы которых выстроены слоями. Это выравнивание немного поворачивается от одного слоя к другому, образуя спираль, уходящую вглубь пленки. Для света, чья длина волны и киральность соответствуют спирали, слабые отражения от разных слоев усиливают друг друга, меняя направление вращения электрического поля в отраженном свете. Пленка возвращает левый свет левым и пропускает правый свет. Такие киральные зеркала существуют уже более десяти лет, и это явление встречается даже в природе: некоторые жуки-скарабеи имеют похожую спираль в своих блестящих панцирях. Если бы вы построили свою коробку с использованием киральных зеркал, то свет, распространяющийся в обоих направлениях, был бы левоциркулярным.
Похожий трюк работает и на решетке: десятилетия назад Пол Гинспарг и нобелевский лауреат Кен Уилсон разработали правила для решетки, аналогичные требованию, чтобы киральные зеркала меняли вращение электрического поля при отражении. Раджамани Нараянан и Герберт Нойбергер создали аналог киральных зеркал, найдя необходимое определение фундаментальных частиц на решетке, известное как фермионы перекрытия. Наконец, Мартин Люшер показал, как различать левые и правые фермионы перекрытия на решетке, а Йосио Кикукава и его коллеги исследовали, как это можно использовать для описания слабого взаимодействия в Стандартной модели. Тем не менее, одной детали все еще не хватало.
Правильный подбор фазы
Чтобы определить эту деталь, давайте вернемся к нашей коробке с киральными зеркалами. Круговая поляризация света указывает нам, в какую сторону вращается электрическое поле по мере распространения света, но у света в нашем эксперименте есть еще одно важное свойство: оптическая фаза. Представьте себе волны на воде, проходящие мимо свай причала, и понаблюдайте за подъемом и падением воды у одной сваи. Фаза волны — это та стадия подъема или падения, в которой вы ее застали при взгляде, возможно, сразу после наивысшей точки на пути вниз. Для нашего циркулярно поляризованного света оптическая фаза отслеживает тот же тип цикла в фиксированной точке луча, причем электрическое поле указывает вверх на «гребне» и вниз на «впадине».
Относительная фаза двух волн определяет, насколько они усиливают или гасят друг друга в одной и той же точке. У одной сваи причала две волны, приходящие в фазе, поднимают воду выше, так как их гребни встречаются, в то время как гребень, встретившийся со впадиной, может оставить уровень воды близким к обычному. Аналогичным образом, свет с одинаковой фазой в одном и том же месте накапливается, в то время как свет с разными фазами может гасить друг друга. В нашей коробке с киральными зеркалами левоциркулярный свет теперь отражается туда и обратно внутри коробки. После одного круга возвращающийся свет встречает новый свет от лазера, идущий в том же направлении. Если их электрические поля находятся в фазе, они усиливают друг друга, и свет накапливается внутри коробки. Если поля разделены полупериодом, они указывают в противоположных направлениях, и возвращающийся свет гасит часть нового света. Чтобы получить мощный пучок, нам нужно, чтобы фаза каждого возвращения совпадала по фазе с источником.
Чтобы подобрать правильную фазу, мы можем повернуть одно киральное зеркало относительно другого. Представьте себе отметку на двенадцать часов на ободе и вращайте зеркало вокруг луча так, будто луч — это его ось. Перемещение отметки на три часа поворачивает каждый слой пленки на четверть оборота и сдвигает фазу отраженного света на полпериода. Мы можем задать угол, чтобы компенсировать фазу, накопленную за остальную часть пути. Как только возвращающийся свет приходит в фазе с лазером, мы получаем прекрасную лабораторию для изучения чисто левого света.
Представьте себе изменение силовых полей до тех пор, пока они не вернутся в исходное состояние. Оранжевые дуги показывают фазу, которую левые фермионы приобретают за этот полный оборот: сначала на исходной сетке, а затем на более мелких. Каждая скобка объединяет две соседние сетки. Сложение разностей между их дугами позволяет восстановить фазовый сдвиг на исходной сетке. Бирюзовая стрелка отменяет этот сдвиг, возвращая меру фермионов к их исходной фазе.
Натаниэль Крейг / GPT‑6 Astra
На решетке фермионы перекрытия дают нам способ оставить только те левые фермионы, которые нам нужны, и избавиться от дублеров. Но это не говорит нам, как установить фазу. (Рассматриваемая фаза сильно отличается от той, с которой мы столкнулись в мысленном эксперименте с киральным зеркалом, но аналогия хорошая.) На решетке это становится сложным, потому что фаза зависит от того, что делают силы Стандартной модели в каждой узловой точке решетки. Люшер разработал рецепт фазы для более простого класса теорий, таких как киральная версия электродинамики, но выравнивание для всей Стандартной модели оставалось нерешенным более 25 лет.
Мы можем попытаться задать фазу, начав с одной конфигурации сил на решетке и отслеживая допустимые левые фермионы по мере изменения силовых полей небольшими шагами. Теперь выполните серию шагов, которые возвращают силовые поля туда, откуда они начались. В конце разрешены те же состояния, однако способ их перемещения по замкнутому контуру может оставить нас с другой фазой. В коробке мы отрегулировали зеркало, чтобы компенсировать фазу, которую свет приобрел за один круг. На решетке мы должны вычислить, как компенсировать фазу, приобретаемую на каждом контуре.
Построение конструкции с помощью Astra
Моя идея заключалась в том, чтобы взять силовые поля на решетке, где мы хотим определить теорию, и представить те же самые поля на последовательности более мелких решеток. Сравнение разрешенных фермионных состояний на двух последовательных решетках дает нам одну часть фазовой поправки для небольшого изменения сил. Сложение этих частей дает нам правило фаз на исходной решетке. Доказательство показывает, что оно дает правильную поправку вокруг каждого разрешенного контура. Поправка для изменения в одном месте зависит в основном от близлежащих полей, а различные математические описания одних и тех же полей дают одинаковый ответ. Это обеспечивает меру для Стандартной модели при конечном шаге решетки под действием ограничения на напряженности полей в масштабе решетки.
Превращение этой стратегии детализации в доказательство потребовало нескольких этапов работы с Astra и обсуждений со сторонними экспертами. GPT‑6 Astra сыграла важнейшую роль в превращении идеи детализации в работающую конструкцию. Она предложила правильный способ переноса заданного набора силовых полей на более мелкие решетки, показала, что сравнения на более мелких решетках будут сходиться к определенному ответу, и взяла на себя инициативу в разработке подробного доказательства. Эксперты-люди также сыграли ключевую роль: специалисты по решеточной теории поля Маартен Голтерман, Андреас Кронфельд и Игаль Шамир любезно потратили время на изучение доказательства Astra и задавали каверзные вопросы, которые помогли мне обрести уверенность в результате. Их опыт работы с этой задачей и заданные ими вопросы были неоценимы по мере того, как конструкция принимала форму.
Что дальше
Результатом является кандидат на роль непертурбативного решеточного определения Стандартной модели, что потенциально решает задачу, остававшуюся открытой более пятидесяти лет. Однако, как и любой научный прогресс, эта конструкция в гораздо большей степени является началом, чем концом. Для того чтобы решить, обладает ли этот рецепт всеми необходимыми нам свойствами, необходим научный диалог между экспертами. Метод, который мы предложили вместе с Astra, в гораздо большей степени является ответом в принципе, чем ответом на практике; впереди еще много работы, чтобы сделать его пригодным для реалистичных решеточных симуляций. Прямо сейчас я много думаю о том, удовлетворяет ли эта конструкция условию отражательной позитивности при конечном шаге решетки — условию, которое помогает связать вычисления в этой решеточной модели с квантовой теорией, в которой сохраняются вероятности.
Конструкция также оставляет открытым вопрос об определении взаимодействующей теории в непрерывном пространстве-времени. Недавнее доказательство от OpenAI существования теории Янга — Миллса (примерами которой являются сильные и слабые силы Стандартной модели) предоставляет недостающий элемент пазла. Это позволило им доказать существование простейшей объединенной теории Янга — Миллса, включающей калибровочные поля и фермионы Стандартной модели, начиная с перекрывающихся фермионов на решетке и переходя к непрерывному пределу. Я оптимистично настроен в отношении того, что эти разработки приведут к новому прогрессу в нашем понимании Стандартной модели.
