Вивиан Куперберг: простые числа, многочлены и закономерности
Куперберг изучает арифметические прогрессии, особенно простые числа — натуральные числа, которые нельзя представить в виде произведения двух меньших чисел. Хотя эти объекты определяются четкими правилами и используются во всей теории чисел, а также в таких приложениях, как криптографические системы, их распределение тем не менее часто кажется случайным. Группа Куперберг будет использовать аналитические, вероятностные и комбинаторные методы, наряду с методами решета и инструментами аддитивной комбинаторики и алгебраической геометрии, чтобы исследовать, где именно проявляется эта кажущаяся случайность.
«Моя исследовательская группа стремится понять, в чем именно арифметические прогрессии, такие как простые числа, ведут себя „случайным образом“, а в чем — нет», — говорит она. Особое внимание будет уделено последовательным простым числам, в том числе тому, что можно сказать о следующем простом числе в порядке возрастания после заданного, а также тому, насколько большими могут быть промежутки между последовательными простыми числами.
В течение первых пяти лет работы в ISTA Куперберг планирует исследовать средние верхние оценки корреляций между простыми числами и угловым распределением многочленов. Ее исследования также будут затрагивать такие последовательности, как суммы двух квадратов, и аналоги простых чисел, включая неприводимые многочлены в кольцах многочленов. В свободное время она любит пешие прогулки, бег, чтение и разгадывание кроссвордов.
Моника Вишан: долгосрочное движение волн
Группа Вишан исследует нелинейные дисперсионные дифференциальные уравнения в частных производных. Примером дисперсии является расщепление света в призме; это происходит из-за того, что свет разных цветов движется в стекле с разной скоростью. Дисперсия имеет тенденцию разделять волны, в то время как нелинейности могут сближать их, создавая интенсивную концентрацию энергии. На протяжении своей карьеры Вишан анализировала конкуренцию между этими двумя эффектами не только в оптике, но и в моделях, возникающих из конденсатов Бозе — Эйнштейна и динамики жидкостей.
«Для многих моделей распространения волн поведение на больших интервалах времени хорошо изучено, когда начальные возмущения локализованы, — поясняет Вишан. — Я стремлюсь понять, что происходит, когда начальная волна рассредоточена по всему пространству, что приводит к постоянному самовзаимодействию — физически жизненно важному вопросу, который остается математической задачей».
Ее группа также будет работать над темами рассеяния, динамики волновых систем в тепловом равновесии, а также континуальных пределов систем частиц. Вишан надеется, что группа станет центром обучения, исследований и сотрудничества в области волнового движения, взаимодействуя с другими группами в ISTA и на международном уровне. В свободное время она ходит в походы с семьей, путешествует, читает, слушает музыку и смотрит фильмы.
Юваль Вигдерсон: порядок и хаос в дискретных системах
Вигдерсон работает в области экстремальной комбинаторики и теории Рамсея — областей, занимающихся размером и структурой дискретных объектов (то есть раздельных, отличных друг от друга и счетных элементов) при наличии естественных ограничений. Эти объекты могут включать графы, множества целых чисел, наборы точек и прямых, а также пространства матриц. Вопросы в этой области часто касаются того, насколько большими могут быть такие объекты, если избегать определенной структуры — например, цикла заданной длины в графе.
«Замечательным и глубоким феноменом, наблюдаемым во всей математике, является то, что „полный беспорядок невозможен“. Любая достаточно большая система, какой бы хаотичной она ни казалась, должна содержать высокоструктурированную часть», — говорит Вигдерсон.
Его группа будет изучать баланс между порядком и хаосом с помощью теории Рамсея, экстремальной теории графов, случайных и псевдослучайных графов, регулярности гиперграфов, матричных пространств и ориентированных графов. Вигдерсон планирует вместе со своей группой осваивать недавно представленные методы, которые помогли решить давние нерешенные проблемы, и изучать возможности их дальнейшего применения. Он любит читать художественную литературу и открывать для себя незнакомых авторов, ходить в походы по выходным, готовить, а также «пытаться приготовить идеальный капучино».
